حل معمای ۱۲۵ ساله دینامیک سیالات: ریاضیدانان سه نظریه فیزیکی را یکپارچه کردند

وقتی بزرگ‌ترین ریاضی‌دان زنده، چشم‌اندازی برای قرن بعدی پژوهش‌ها ارائه می‌دهد، دنیای ریاضیات بدون شک به آن توجه می‌کند. این دقیقاً همان اتفاقی است که در سال ۱۹۰۰ در کنگره بین‌المللی ریاضیدانان در دانشگاه سوربن پاریس رخ داد. دیوید هیلبرت، ریاضی‌دان افسانه‌ای ۱۰ مسئله‌ی حل‌نشده را به‌عنوان تابلوهای راهنمای بلندپروازانه برای قرن بیستم ارائه داد. او بعدها فهرستش را به ۲۳ مسئله‌ای گسترش داد که تأثیرشان بر تفکر ریاضی در ۱۲۵ سال گذشته را نمی‌توان نادیده گرفت.

به گزارش زومیت، مسئله ششم هیلبرت یکی از بلندپروازانه‌ترین‌ها بود. او خواستار «آگزیوماتیزه‌کردن» فیزیک یا تعیین حداقل فرضیه‌های ریاضی ممکن پشت تمامی نظریه‌های فیزیکی شد. به‌طورکلی، مشخص نیست که آیا فیزیک‌ریاضی‌دان‌ها یک روز بتوانند بفهمند که آیا این چالش را حل کرده‌اند یا خیر. بااین‌حال، هیلبرت به برخی اهداف فرعی مشخص اشاره کرده بود که پژوهشگرها از آن زمان دیدگاه او را به گام‌های ملموسی برای پیدا کردن راه‌حل تبدیل کرده‌اند.

به‌گزارش ساینتیفیک آمریکن، در ماه مارس، یو دنگ ریاضی‌دان دانشگاه شیکاگو، زاهر هانی و شیائو ما از دانشگاه میشیگان، مقاله‌ای جدید را در پایگاه پیش‌انتشار آرکایو منتشر کردند که مدعی است یکی از اهداف مسئله ششم هیلبرت را حل می‌کند. اگر کار آن‌ها مورد تایید قرار گیرد، این پیشرفت گامی مهم در پیونددادن فیزیک با ریاضیات خواهد بود و می‌تواند درهای بیشتری را به سمت دیگر زمینه‌های فیزیکی باز کند.

هر نظریه در میزان بزرگ‌نمایی‌اش از مایع یا گاز در حال جریان، تفاوت دارد. در سطح میکروسکوپی، سیال‌ها از ذراتی تشکیل شده‌اند، مثل توپ‌های بیلیارد کوچکی که به اطراف حرکت می‌کنند و گاهی اوقات با هم برخورد می‌کنند و قوانین حرکت نیوتن برای توصیف مسیر آن‌ها به خوبی عمل می‌کند.

اما وقتی از منظر جمعی یا در سطح مزوسکوپیک (میانه‌مقیاس) رفتار مجموعه‌ی وسیعی از ذرات را بررسی می‌کنیم، دیگر راحت نیست که هر ذره را به طور جداگانه مدل‌سازی کنیم. لودویگ بولتزمان، فیزیکدان نظری اتریشی در سال ۱۸۷۲ زمانی که معادله‌ای به نام بولتزمان را توسعه داد، به این موضوع پرداخته بود. چنین معادله‌ای، به جای پیگیری رفتار هر ذره، به رفتار احتمالی یک ذره‌ی معمولی توجه می‌کند یا به عبارت دیگر، جزئیات سطح پایین را نادیده می‌گیرد و به روندهای سطح بالاتر می‌پردازد. این معادله به فیزیکدانان امکان می‌دهد که نحوه تکامل مقادیری مانند تکانه و رسانایی حرارتی در سیال را بدون درنظرگرفتن هر برخورد میکروسکوپی محاسبه کنند.

با بزرگنمایی بیشتر، خود را در دنیای ماکروسکوپی (کلان‌مقیاس) خواهید یافت. در اینجا، سیالات را نه به عنوان مجموعه‌ای از ذرات مجزا، بلکه به عنوان یک ماده پیوسته واحد درنظر می‌گیریم. در این سطح از تحلیل، مجموعه‌ای دیگر از معادلات مثل معادلات اویلر و ناویر-استوکس، بدون توجه به ذرات، به طور دقیق توضیح می‌دهند که چگونه سیالات حرکت می‌کنند و چگونه خواص فیزیکی آن‌ها با یکدیگر مرتبط هستند.

سه سطح تحلیل هر کدام واقعیت اساسی یکسانی را توصیف می‌کنند: چگونگی حرکت سیالات. در اصل، هر نظریه باید بر اساس نظریه زیرین خود در سلسله‌مراتب بنا شود: معادلات اویلر و ناویر-استوکس در سطح ماکروسکوپی باید به طور منطقی از معادله بولتزمان در سطح مزوسکوپی مشتق شوند که به نوبه خود باید به‌طور منطقی از قوانین حرکت نیوتن در سطح میکروسکوپی مشتق شوند.

 این همان نوع «آگزیوماتیزه‌کردن» است که هیلبرت در مسئله ششم خود خواسته و به طور صریح به پژوهش‌های بولتزمان در مورد گازها در نوشته‌های خود اشاره کرده بود. ما انتظار داریم که نظریه‌های کامل فیزیک از قوانین ریاضی که پدیده‌ها را از سطح میکروسکوپی تا ماکروسکوپی توضیح می‌دهند، پیروی کنند. اگر دانشمندان نتوانند این شکاف را پر کنند، ممکن است نشانه‌ای از سوءتفاهم در نظریه‌های موجود ما باشد.

یکپارچه‌سازی سه دیدگاه مختلف در مورد دینامیک سیالات چالشی دشوار برای این حوزه به شمار می‌رود؛ اما پژوهشگرهای مسئول مطالعه اخیر احتمالا بر آن غلبه کرده‌اند. دستاورد آن‌ها بر اساس دهه‌ها پیشرفت تدریجی است. بااین‌حال، پیشرفت‌های قبلی همگی به نوعی دارای محدودیت بودند؛ به عنوان مثال، مشتقات به‌دست‌آمده تنها روی مقیاس‌های زمانی کوتاه، در خلا یا تحت شرایط ساده‌سازی‌شده کاربرد داشتند.

مرحله اول قبلاً درک شده بود و حتی خود هیلبرت هم در حل آن مشارکت داشت. از طرف دیگر، استنتاج نظریه مزوسکوپی از میکروسکوپی، از نظر ریاضی بسیار چالش‌برانگیزتر بوده است. به یاد داشته باشید که تنظیمات مزوسکوپی به رفتار جمعی تعداد زیادی از ذرات مربوط می‌شود؛ بنابراین پژوهشگرها بررسی کردند که با افزایش تعداد ذرات منفرد برخوردکننده به بی‌نهایت و کاهش اندازه‌ی آن‌ها به صفر،‌ چه اتفاقی برای معادلات نیوتن رخ می‌دهد.

 آن‌ها اثبات کردند که وقتی معادلات نیوتن را تا این حد نهایی امتداد می‌دهید، رفتار آماری سامانه یا رفتار احتمالی یک ذره «معمولی» در سیال به راه‌حل معادله بولتزمان همگرا می‌شود. این مرحله با استخراج ریاضیات مزوسکوپی از رفتار ریاضی میکروسکوپی، باعث ایجاد یک پل می‌شود.

مانع اصلی در مرحله‌ی یادشده مربوط به مدت زمانی بود که معادلات آن را مدل‌سازی می‌کردند. قبلاً معلوم شده بود که چگونه معادله بولتزمان را از قوانین نیوتن در مقیاس‌های زمانی خیلی کوتاه استخراج کنیم؛ اما این حد برای چشم‌انداز هیلبرت کافی نیست، زیرا سیالات واقعی می‌توانند برای هر مدت زمانی جریان داشته باشند.

مقیاس‌های زمانی طولانی‌تر پیچیدگی بیشتری را هم به دنبال دارند: برخوردهای بیشتری اتفاق می‌افتد و تمام تاریخچه برهم‌کنش‌های یک ذره ممکن است بر رفتار کنونی آن تأثیر بگذارد. پژوهشگران این مشکل را با محاسبه دقیق اینکه چگونه تاریخچه یک ذره بر حال حاضر آن تأثیر می‌گذارد و بهره‌برداری از تکنیک‌های ریاضی جدید برای استدلال اینکه اثرات تجمعی برخوردهای قبلی کوچک باقی می‌مانند، حل کردند.

ترکیب دستاورد بلندمدت پژوهشگران با مطالعات قبلی درباره‌ی استنتاج معادلات اویلر و ناویر-استوکس از معادله بولتزمان، سه نظریه دینامیک سیالات را یکپارچه می‌کند. این یافته اهمیت درنظر گرفتن دیدگاه‌های مختلف مربوط به سیالات را بر اساس آنچه در هر زمینه مفیدتر است، نشان می‌دهد؛ زیرا از نظر ریاضی این دیدگاه‌ها به یک نظریه‌ی نهایی که واقعیت را توصیف می‌کند، همگرا می‌شوند. با فرض اینکه اثبات پژوهشگران صحیح باشد، این پیشرفت مسیری جدید را در چشم‌انداز هیلبرت باز می‌کند. می‌توان امیدوار بود که با چنین رویکردهای نوآورانه‌ای، سد دیگر مسائل هیلبرت شکسته شود.